Hefei 10 - 12/2022
Surfaces de Riemann
Enseignant:
- Charles Favre
- charles dot favre at polytechnique dot edu
Horaires:
- Lundi et Mercredi: 12.30 -- 14.55 (CET)
(connection sur zoom possible à partir de 12h15)
- Octobre: 31; Novembre: 2, 7, 9, 14, 16, 21, 23, 28, 30; Décembre: 3, 5, 7, 12, 19, 21, 28, 29.
Synopsis :
Riemann surfaces are spaces over which one can naturally define the notion of holomorphic function.
These objects lie at the crossroad between many mathematical fields: differential geometry, number theory, dynamical
systems, or algebraic geometry. The aim of this course is to propose an introduction to various geometric aspects of
Riemann surfaces including Riemann-Roch theorem for compact Riemann surfaces and the uniformization theorem.
Prérequis:
- théorie des fonctions holomorphes dans le plan complexe
- théorie des revêtements, homologie
- notion sur les formes différentielles
Évaluation
L'évaluation sera basée sur un examen final.
Plan du cours:
I. Introduction: rappels, définition des surfaces de Riemann et premiers exemples
- Rappels sur les fonctions holomorphes dans le plan complexe
- Surfaces de Riemann (définition)
- Premiers exemples: sphère de Riemann, courbes elliptiques, sous-variétés affine, théorème de Koebe-Poincaré
- Action de groupe holomorphe et quotient de surfaces de Riemann
Exercices
Références
- Surfaces de Riemann et théorie des revêtements. Chapitre A. Charles Favre.
- The arithmetic of elliptic curves. Chapter VI. Joe Silverman.
- Calcul différentiel. Henri Cartan. Hermann. Paris (1967)
- Analyse réelle et complexe. Chapter 14. Walter Rudin.
II. Objets holomorphes sur les surfaces de Riemann
- Le théorème d'uniformisation: énoncé et applications.
- Fonctions sous-harmoniques, et existence des fonctions de Green.
- Différentielles sur les surfaces de Riemann.
- Démonstration du théorème d'uniformisation.
Exercices
Références
- Introduction to complex analysis in several complex variables. Chapter I. Lars Hörmander.
- Quelques aspects des surfaces de Riemann. Chapitre III & IV. Eric Reyssat.
- Riemann surfaces. I.3--4, IV.1--5. H.M Farkas et I. Kra.
- Uniformisation des surfaces de Riemann. Retour sur un théorème centenaire. Henri-Paul de Saint-Gervais.
III. Surfaces de Riemann compactes
- Topologie des surfaces de Riemann (groupe fondamental, genre topologique, premier groupe d'homologie)
-
Caractéristique d'Euler Poincaré et Formule de Riemann-Hurwitz
-
Corps des fonctions méromorphes
-
Groupe des diviseurs, équivalence rationnelle, espace de sections, diviseur canonique
-
Théorème de Riemann-Roch
Exercices
Références
- Quelques aspects des surfaces de Riemann. Chapitre V, VII & VIII. Eric Reyssat.
- Riemann surfaces. III, IV.10. H.M Farkas et I. Kra.
Lectures:
- Cours 1: 31 Octobre 2022
- Rappel sur les fonctions holomorphes (Section I.1)
- Exercices: groupe des transformations
du disque et du demi-plan de Poincaré (feuille I)
- Notes
- Vidéo
- Cours 2: 2 Novembre 2022
- Définition des surfaces de Rieman, atlas holomorphe, fonctions holomorphes entre surfaces de Riemann, construction de la sphère de Riemann, des courbes elliptiques et structure de surfaces de Riemann sur les courbes algébriques de sur C² (Sections I.2 et I.3)
- Exercices: groupe des transformations conformes du plan complexe, applications holomorphes de la sphère de Riemann, et
groupe des transformations conformes de la sphère de Riemann. (feuille I)
- Notes
- Vidéo
- Cours 3: 7 Novembre 2022
- Enoncé du théorème d'uniformisation (Section I.3), et surface de Riemann obtenue par quotient d'action holomorphe (Section I.4)
- Exercice: théorème d'uniformisation dans le plan complexe (feuille I)
- Notes
- Vidéo
- Cours 4: 9 Novembre 2022
- Théorie de Weierstrass (session d'exercice)
- Notes
- Cours 5: 14 Novembre 2022
- Classification des surfaces de Riemann à partir du théorème d'uniformisation (Section II.1)
- Exercice: 20, 22 et 24 (feuille I)
- Notes
- Vidéo
- Cours 6: 16 Novembre 2022
- Fonctions harmoniques (définition, noyau de Poisson, lemme de Harnack), et fonctions sous-harmoniques
(définition)
- Exercice: 1 (1)--(3) (feuille II)
- Notes
- Vidéo
- Cours 7: 21 Novembre 2022
- Fonctions sous-harmoniques (propriétés princpales)
- Exercice: 1 (4)--(6), puis 7, 8 et 13. (feuille II)
- Notes
- Vidéo
- Cours 8: 23 Novembre 2022
- Résolution du problème de Dirichlet sur les surfaces de Riemann:
principe de balayage de Perron, construction de barrière pour les domaines à bord lisse
- Exercices: 12, 14, 6, 15 (feuille II)
- Notes
- Vidéo
- Cours 9: 28 Novembre 2022
- Construction des fonctions de Green sur les surfaces de type (H) (i.e., portant une fonction sous-harmonique négative non-constante),
et théorème d'uniformisation pour les surfaces simplement connexes de type (H)
- Exercices: 2 (feuille II)
- Notes
- Vidéo
- Cours 10: 30 Novembre 2022
- Énoncé construction de fonctions harmoniques sur les surfaces qui ne sont pas de type (H), et fin du théorème d'uniformisation
- Exercices: 17 et 3 (base dénombrable) (feuille II)
- Notes
- Vidéo
- Cours 11: 3 Décembre 2022
- formes différentielles sur les surfaces de Riemann (définition, opérations, théorème de Stokes)
- démonstration de la construction de fonctions harmoniques sur une surface S qui n'est pas de type (H)
(le lemme de Stokes pour les fonctions harmoniques sur des domaines non compacts de S est admis)
- Notes
- Vidéo
- Cours 12: 5 Décembre 2022
- classification à homéomorphisme près des surfaces de Riemann compactes
- calcul de leur groupe fondamental à l'aide de Van Kampen, et de leur homologie d'ordre 1
- Exercices: 16, 18 (1--2), et 19 (feuille II)
- Notes
- Vidéo
- Cours 13: 7 Décembre 2022
- caractéristique d'Euler-Poincaré, formule de Riemann-Hurwitz
- Exercices: 18 (feuille II)
- Notes
- Vidéo
- Cours 14: 12 Décembre 2022
- corps des fonctions méromorphes d'une surface de Riemann compacte est une extension
finie du corps des fractions rationnelles complexes
- Exercices: 1, et début du 3 (feuille III)
- Notes
- Vidéo
- Cours 15: 19 Décembre 2022
- groupe des diviseurs, diviseur principal, diviseur canonique
- théorème de Riemann-Roch
- applications: dimension de l'espace des 1-formes holomorphes, existence d'une fonction méromorphe avec un p&ohat;le unique
- Exercices: 3 (fin), 4, et début du 5 (feuille III)
- Notes
- Vidéo
- Cours 16: 21 Décembre 2022
- démonstration du théorème de Riemann-Roch
- Exercices: 5 (fin), 7 (feuille III)
- Notes
- Vidéo
- Cours 17: 28 Décembre 2022
- théorie des faisceaux: définition, morphismes, cohomologie de Cech
- Exercice 6 (feuille III), et surfaces hyperelliptiques
- Notes
- Vidéo
- Cours 18: 29 Décembre 2022
- suite exacte longue en cohomologie de Cech
- dualité de Serre (version faible dans le cas D non nul, construction du pairing dans le cas D=0,
et idées de démonstrationr)
- Exercices: surfaces hyperelliptiques: équations dans C 2, construction d'une base de 1-formes holomorphes
- Notes
- Vidéo